وُلد باينلفيه في باريس. نشأ في أسرة من الحرفيين الماهرين (كان والده رسّامًا هندسيًا) وأظهر منذ صغره تفوّقًا في مختلف المواد الأساسية، فانجذب في البداية إلى مسارٍ مهنيّ يتقاطع بين الهندسة والسياسة. لكنه انضم في نهاية المطاف إلى المدرسة العليا عام 1883 لدراسة الرياضيات، وحصل على درجة الدكتوراه عام 1887 بعد فترة دراسة في جوتنجن بألمانيا مع فيليكس كلاين وهيرمان أماندوس شوارتز. متوجهًا نحو المسار الأكاديمي، أصبح أستاذًا بجامعة ليل، ثم عاد إلى باريس عام 1892 للتدريس في السوربون، والمدرسة متعددة التقنيات (بوليتكنيك)، ولاحقًا في كلية فرنسا والمدرسة العليا. اختير عضوًا في أكاديمية العلوم عام 1900.^[8]

تزوّج «مارغريت بيتي دو فيلينوف» عام 1901. توفيت «مارغريت» أثناء ولادة ابنهما «جان باينلفيه» في العام التالي.

أدى عمل باينلفيه الرياضي على المعادلات التفاضلية إلى مواجهته لتطبيقاتها على نظرية الطيران، وزاد اهتمامه الواسع بمواضيع الهندسة شغفه بالمجال الناشئ للطيران. في عام 1908 أصبح أول راكب لطائرة في فرنسا مع «ويلبر رايت»، وفي عام 1909 أسس أول دورة جامعية في مجال الطيران.

يمكن حل بعض المعادلات التفاضلية باستخدام عمليات جبرية بسيطة تشمل الدوال المثلثية والأسية (يُطلق عليها أحيانًا الدوال الأساسية). تنشأ العديد من الدوال الخاصة المثيرة للاهتمام كحلول لمعادلات تفاضلية عادية خطية من المرتبة الثانية.^[9] عند نهاية القرن أظهر باينلفيه و«إ. بيكار» و«ب. جامبييه» أنه من بين فئة المعادلات التفاضلية العادية غير الخطية من المرتبة الثانية ذات المعاملات متعددة الحدود، تلك التي تمتلك خاصية تقنية مرغوبة مشتركة مع المعادلات الخطية (في الوقت الحاضر يُشار إليها عادةً ب «خاصية باينلفيه») يمكن تحويلها دائمًا إلى واحدة من خمسين صورة معيارية. من بين هذه الخمسين معادلة تحتاج ست فقط إلى دوال متعالية «جديدة» لحلها. تُعرف هذه الدوال المتعالية الجديدة، التي تحل المعادلات الست المتبقية، بدوال باينلفيه المتعالية، وانتعش الاهتمام بها مؤخرًا بسبب ظهورها في الهندسة الحديثة والأنظمة المتكاملة والميكانيكا الإحصائية.^[10][11]

في عام 1895 قدم سلسلة من المحاضرات بجامعة ستوكهولم عن المعادلات التفاضلية، وفي نهايتها عرض فرضية باينلفيه بشأن تفردات مشكلة الأجسام المتعددة. في نفس العام نشر عملًا عن مفارقة باينلفيه، التي تُعد تناقضًا ظاهرًا في النماذج البسيطة للاحتكاك.^[12]

في عقد العشرينات حوّل باينلفيه اهتمامه لفترة قصيرة إلى نظرية الجاذبية الجديدة، النسبية العامة، التي قدمها ألبرت أينشتاين مؤخرًا. في عام 1921 اقترح باينلفيه إحداثيات «جولستراند–باينلفيه» للمترية شوارزشيلد. كان هذا التعديل في نظام الإحداثيات الأول الذي كشف بوضوح أن نصف قطر شوارزشيلد هو مجرد تفرد إحداثي (ذو أهمية عالمية عميقة: إذ يمثل أفق الحدث للثقب الأسود). لم يقدّر الفيزيائيون هذه النقطة الأساسية عمومًا حتى حوالي عام 1963. دوّن هاري جراف كيسلر في يومياته أن خلال زيارة لاحقة إلى برلين ناقش باينلفيه السياسة الدولية السلمية مع أينشتاين، ولا يوجد ما يشير إلى مناقشات حول أهمية نصف قطر شوارزشيلد.^[13]

بين عامي 1915 و1917 تولى باينلفيه منصب وزير التعليم العام والاختراعات في فرنسا. في ديسمبر 1915 طلب اتفاق تبادل علمي بين فرنسا وبريطانيا، ما أسفر عن تعاون أنجلو-فرنسي أدى في نهاية المطاف إلى التطوير الموازي لأول نظام سونار نشط على يد بول لانجفين في فرنسا وروبرت بويل في بريطانيا. أسس أيضًا مديرية الاختراعات للدفاع الوطني، السابقة للمركز الوطني للبحث العلمي الفرنسي.^[14]