オッズ

オッズ（英: odds）は、確率論で確率を示す数値のこと。またギャンブルの分野では、配当率を指す（#ギャンブルにおけるオッズの節を参照）^[1]。

概要

オッズはある事象が起きない場合に対する起きる場合の割合である（⇒ #定義）。オッズは非負の値を取り、ある事象の回数あるいは確率に関して単調増加し、半々のとき 1 を取り、確率と1対1で対応する（⇒ #性質）。ギャンブルでは当たりやすさの表現としてオッズが用いられ、また日本の公営競技では払戻率をオッズと呼ぶ（⇒ #ギャンブルにおけるオッズ）。

2つのオッズの比はオッズ比と呼ばれる。またオッズの自然対数はその確率のロジットと呼ばれる。これらは臨床試験の結果の表現や、種々の統計学的解析に用いられる。

定義

試行による定義

試行によりある事象が $a$ 回（ $0\leq a<\infty$ ）、そうでない事象が $b$ 回（ $0<b<\infty$ ）出たとき、オッズ ${\text{Odds}}$ は以下の式で定義される：

{\text{Odds}}={\frac {a}{b}}

すなわち、それ以外の事象の回数に対するある事象の回数の割合がオッズと定義される。

確率による定義

ある事象が起こる確率を $p$ （ $0\leq p<1$ ）としたとき、オッズ ${\text{Odds}}$ は以下の式で定義される：

{\text{Odds}}={\frac {p}{1-p}}

すなわち、事象が起こらない確率に対する起こる確率の割合がオッズと定義される。

例

表. 確率とオッズの対応
確率 $p$	オッズ ${\text{Odds}}$
$0$	$\ \ 0.0$
$0.01$	$\ \ 0.01{\overset {\centerdot }{1}}0$
$0.1$	$\ \ 0.{\overset {\centerdot }{1}}$
$0.3$	$\ \ 0.429\ldots$
$0.5$	$\ \ 1.0$
$0.7$	$\ \ 2.{\overset {\centerdot }{3}}$
$0.9$	$\ \ 9.0$
$0.99$	$99.0$

具体例として、偏りのあるコイントスで表が出ることのオッズを考える。裏がその他事象に相当するため、オッズは「表 / 裏」という回数比で求まる。よって表 $1$ 裏 $9$ だとオッズは約 $0.11$ 、表 $5$ 裏 $5$ だと $1$ 、表 $9$ 裏 $1$ だと $9$ になる。

多択の例として、5 頭立ての競馬で馬 A が一着になることのオッズを考える。同じ馬で複数回レースをした結果、A が 6 回、B が 2 回、C が 1 回、D・E は 0 回一着になったとする。その他事象は B~E 馬の一着であるため、オッズは $6/(2+1+0+0)=2$ となる。

確率とオッズがどのような対応関係にあるかの数値例として表が参考になる。

性質

値域

オッズの値域は $0\leq {\text{Odds}}<\infty$ である。これは試行による定義での定義域によって $a$ が非負、 $b$ が正の数であることから明らかである。

単調増加

オッズはある事象の回数あるいは確率に応じて狭義単調増加する。

試行による定義では、 $b$ を定数と見做したとき ${d \over da}{\text{Odds}}={\frac {1}{b}}=Const.(>0)$ となり線形増加するため狭義単調増加だとわかる。確率による定義でも、 $0<1-p\leq 1$ より ${d \over dp}{\text{Odds}}={\frac {1}{(1-p)^{2}}}>0$ となり増加するため狭義単調増加だとわかる。これはロジット（= 対数オッズ）の逆関数であるロジスティック関数が単調増加であることの裏返しである^[2]。